ภายในห้องกิจกรรมของห้องสมุด
ลู่โจวกำลังยืนอยู่หน้ากระดานไวท์บอร์ดที่ถูกเขียนไว้เพียงครึ่งเดียว เขาวางปากกาลงและถอยหลังสองก้าวแล้วพูดขึ้น
“…หากเราต้องการรวมเรขาคณิตและพีชคณิตเข้าด้วยกัน เราต้องเปลี่ยนมุมมองของตัวเลขและรูปร่าง เราจำเป็นต้องมองหาความคล้ายคลึงกันระหว่างแนวคิดนามธรรมของพวกมัน”
เฉินหยางยืนอยู่ข้างๆ กับลู่โจว หลังจากครุ่นคิดอยู่ไม่นาน เขาก็พูดขึ้นทันที
“เหมือนกับโปรแกรมของแลงแลนด์ใช่ไหม?”
ลู่โจวกล่าวอย่างจริงจังว่า “ไม่ใช่แค่โปรแกรมของแลงแลนด์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีแรงจูงใจด้วย หากเราต้องการแก้สมการนี้ เราต้องหาความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีโคโฮโมโลยีต่างๆ”
จริงแล้วๆ นี่เป็นสมการทั่วไป
การเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีโคโฮโมโลยีต่างๆ ถูกแบ่งออกเป็นการคาดเดาและข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้แก้เป็นจำนวนนับหมื่นหรือหลายล้าน
และการคาดเดาของฮ็อดจ์ซึ่งเป็นสมการที่ยังไม่ได้แก้ไขในด้านเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตก็เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด
แต่มันก็น่าสนใจพอสมควร แม้ว่าจะมีการคาดเดายากๆ มากมายที่ขวางทาง แต่ก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีแรงจูงใจได้โดยไม่ต้องพิสูจน์การคาดเดาอื่นๆ
มันคล้ายกับสมมติฐานของรีมันน์กับสมมติฐานทั่วไปของรีมันน์เกี่ยวกับฟังก์ชันดิริชเลต
“…จากภายนอกแล้ว ดูเหมือนว่าเรากำลังค้นคว้าสมการการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงมันยังเป็นสมการที่เกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต และโทโพโลยีอีกด้วย”
ลู่โจวจ้องไปที่ไวท์บอร์ดและกล่าวว่า “กลยุทธ์ที่ดีคือการหาปัจจัยที่เป็นนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขและรูปร่าง เราเริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์ระหว่างชุดของทฤษฎีโคโฮโมโลยี เช่น ทฤษฎีบเคเนธ และความเป็นคู่ของพอยน์แคร์ เรายังใช้วิธีนี้กับแอล แมนิโฟลด์บนระนาบเชิงซ้อนได้ ตามที่ผมแสดงให้คุณเห็นก่อนหน้านี้”
ลู่โจวเหลือบมองที่เฉินหยางซึ่งยืนอยู่ข้างเขา เขากล่าวต่อว่า “ผมต้องการทฤษฎีที่สร้างจากทฤษฎีคลาสสิกของโคโฮโมโลยีแบบหนึ่งมิติ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทอาเบล จาโคบี
“การใช้ทฤษฎีนี้ เราจะสามารถศึกษาการสลายตัวของผลรวมโดยตรงในทฤษฎีแรงจูงใจและเชื่อมโยง H(v) กับแรงจูงใจที่ลดไม่ได้ได้“
“ผมวางแผนที่จะทำสิ่งนี้ด้วยตัวเอง แต่มีสิ่งสำคัญอื่นๆ ที่ฉันต้องไปทำก่อน ผมวางแผนที่จะเสร็จสิ้นทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่ภายในสิ้นปี ดังนั้นคุณจะรับผิดชอบในส่วนนี้”
เฉินหยางเงียบไปครู่หนึ่งก่อนจะพูดว่า “ฟังดูน่าสนใจ…หากการตีความของผมถูกต้อง ถ้าเราพบทฤษฎีนี้ละก็ มันจะช่วยไขการคาดเดาของฮ็อดจ์ได้”
ลู่โจวพยักหน้าและพูด
“ผมไม่แน่ใจว่ามันสามารถแก้การคาดเดาขอฮ็อดจ์ได้หรือเปล่านะ แต่มันจะเป็นแรงบันดาลใจให้ค้นคว้าเกี่ยวกับการคาดเดาของฮ็อดจ์ต่อไป”
“ผมเข้าใจ” เฉินหยางพยักหน้าและกล่าวว่า “ผมจะลองดู…แต่ไม่รับประกันว่าจะพิสูจน์สมการนี้ได้เร็วนี้ๆ นะ”
“ไม่เป็นไร นี่ไม่ใช่สิ่งที่จะทำได้ในเวลาสั้นๆ ผมไม่รีบอยู่แล้ว” ลู่โจวยิ้มแล้วพูดว่า “แต่คำแนะนำของผมคือให้หาคำตอบให้ผมภายในสองเดือน ถ้าไม่มั่นใจก็บอกล่วงหน้า ผมทำเองได้”
เฉินหยางส่ายหัว
“มันน่าจะใช้เวลาไม่เกินสองเดือน หรือไม่ก็สองสัปดาห์น่าจะเพียงพอแล้ว”
เฉินหยางพูดอย่างมั่นใจและไม่สงสัยอะไร เครื่องมือทางคณิตศาสตร์มีอยู่แล้ว และลู่โจวยังให้แนวคิดแก่เขาในการแก้สมการ
งานแบบนี้ไม่ต้องการการคิดนอกกรอบหรือความคิดสร้างสรรค์ แต่ต้องการเพียงการทำงานหนักเท่านั้น
และเขามีความขยันมากพอ
ลู่โจวมองไปที่เฉินหยางและพยักหน้า เขาเอื้อมมือออกไปแล้วตบบ่าหลิวเจิ้งเหวิน
“โอเค ผมเชื่อใจคุณนะ!”
…
หลังจากที่เฉินหยางจากไป ลู่โจวก็กลับไปที่ห้องสมุดและนั่งลงบนเก้าอี้ตัวเอง เขาพลิกดูกองวิทยานิพนธ์บนโต๊ะและอ่านต่อไปขณะเขียนร่างจดหมายพร้อมๆ กัน
เมื่อพิจารณาจากมุมมองภาพรวมแล้ว การพัฒนาเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตสามารถแบ่งออกเป็นสองทิศทางหลัก หนึ่งคือโปรแกรมแลงแลนด์และอีกอันคือทฤษฎีแรงจูงใจ
สาระสำคัญของโปรแกรมแลงแลนด์คือการสร้างความเชื่อมโยงระหว่างส่วนที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันในวิชาคณิตศาสตร์
ในทางกลับกันทฤษฎีแรงจูงใจเป็นที่รู้จักน้อยกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับโปรแกรมแลงแลนด์
บทความที่ลู่โจวกำลังอ่านนั้นเขียนโดยศาสตราจารย์โวย์วอดสกี ผู้เชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีชื่อเสียง
เขาเป็นชาวรัสเซียจากสถาบันการศึกษาขั้นสูงพรินซ์ตันเสนอแรงจูงใจประเภทที่น่าสนใจ
มันเป็นสิ่งที่ลู่โจวต้องการพอดี
“…แรงจูงใจเป็นพื้นฐานของตัวเลขทั้งหมด”
ลู่โจวพึมพำกับตัวเองขณะที่เขียนกระดาษเพื่อตรวจสอบการคำนวณวิทยานิพนธ์
ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีตัวเลข n, n ในฐาน 10 คือ 100, n ในฐาน 2 คือ 1100100, n ในฐาน 8 คือ 144
“การแสดงออกของมันขึ้นอยู่กับว่าเราเลือกที่จะนับในฐาน 2 ฐาน 8 หรือฐาน 10 ทั้งหมดสอดคล้องกับตัวเลข n เพียงเขียนในรูปแบบต่างๆ ของนิพจน์เท่านั้น”
“N มีความหมายพิเศษ”
“มันไม่ใช่แค่ตัวเลขที่เป็นนามธรรม แต่เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์มากกว่า”
“ทฤษฎีแรงจูงใจเป็นเรื่องเกี่ยวกับชุดของ n ที่นับไม่ได้ ชื่อ N ”
“เนื่องจากรากของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด N สามารถจับคู่กับชุดของช่วงใดก็ได้ ไม่ว่าจะเป็น [0, 1] หรือ [0, 9]…”
อันที่จริงนี่เป็นหนึ่งในสมการหลักของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งเป็นสมการของตัวเลขที่เป็นนามธรรม
มนุษย์ได้ ‘แปล’ ภาษาคณิตศาสตร์ต่างๆ ผ่านระบบสัญกรณ์ต่างๆ การแสดงออกทางนามธรรมเป็นภาษาที่แท้จริงเพียงภาษาเดียวของจักรวาล
คนที่ใช้คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันอาจไม่เคยตระหนักถึงสิ่งนี้เลยด้วยซ้ำ หลายศาสนาและวัฒนธรรมที่ให้ตัวเลขมีความหมายพิเศษ ไม่ได้เข้าใจจริงๆ ว่า ‘ภาษาของจักรวาล’ คืออะไร
ผู้คนอาจถามว่าอะไรคือจุดที่ทำให้การคำนวณซับซ้อนขึ้น แต่การแยกตัวเลขออกจากการตัวแสดงแทนจะช่วยให้ผู้คนค้นคว้าความหมายเชิงนามธรรมที่อยู่เบื้องหลัง
นอกจากการวางรากฐานทางทฤษฎีสมัยใหม่ของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตแล้ว ก็อตเทนดิ๊กยังเสนอทฤษฎีแรงจูงใจอีกด้วย
ทฤษฎีนี้เปรียบเสมือนสะพานที่เชื่อมโยงทฤษฎีโคโฮโมโลยีต่างๆ กับพีชคณิตและเรขาคณิต
มันเหมือนกับท่วงทำนองหลักของซิมโฟนี ทฤษฎีโคโฮโมโลยีที่เคยมีสามารถดึงธีมออกจากเมโลดี้หลักและปรับเปลี่ยนได้โดยการเปลี่ยนเมเจอร์ ไมเนอร์ หรือแม้แต่จังหวะ
“…ทฤษฎีโคโฮโมโลยีก่อตัวเป็นวัตถุทางเรขาคณิต วัตถุเรขาคณิตนี้สามารถค้นคว้าได้โดยใช้กรอบงานของเขา”
“…เข้าใจแล้ว”
ลู่โจวมีความตื่นเต้นในดวงตาของเขา และทันใดนั้นเขาก็หยุดเขียน
เขารู้สึกว่าเขาใกล้จะถึงเส้นชัยแล้ว
ความรู้สึกแบบนี้มาจากส่วนลึกที่สุดของจิตวิญญาณของเขา และมันเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่เขาเคยรู้สึก…
……………………
