เมื่อต้นปี ก่อนที่ลู่โจวจะไปแย่งเฉินหยางจากศูนย์คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเหยียน เฉินหยางก็ได้เริ่มค้นคว้าเกี่ยวกับข้อคาดการณ์ของฮอดจ์แล้ว
ลู่โจวยังจำได้ว่าเคยเห็นเฉินหยางค้นคว้าวิธีวิเคราะห์เส้นโค้งไฮเปอร์เอลลิปติกบนกระดานดำมาก่อน เฉินหยางใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ชาญฉลาดในการปรับปรุงวิธีการนี้ ซึ่งเดิมแล้วมันถูกออกแบบมาเพื่อพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ นี่หมายความว่าวิธีการวิเคราะห์เส้นโค้งไฮเปอร์เอลลิปติกสามารถนำไปใช้กับคลัสเตอร์พีชคณิตเชิงซ้อนที่เป็นเอกพจน์ได้ เช่นเดียวกับสมการทางเรขาคณิตที่กำหนดไว้ในคลัสเตอร์ย่อย
สิ่งนี้ทำให้เกิดความประทับใจที่ดีต่อลู่โจว ซึ่งทำให้ลู่โจวไปแย่งเขามา
นี่ก็เกือบหนึ่งปีตั้งแต่ตอนนั้น และยังไม่มีความคืบหน้าที่สำคัญใดๆ เกี่ยวกับข้อคาดการณ์ของฮอดจ์เลย ไม่ต้องพูดเรื่องถึงเรื่องที่ว่าลู่โจวกำลังยุ่งอยู่กับการรวมพีชคณิตและเรขาคณิตให้เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน นั่นทำให้เขาลืมเรื่องนี้ไปหมดแล้ว
“มาคุยกันที่ห้องทำงานของผม”
ลู่โจวพาเฉินหยางไปที่ออฟฟิศของเขาและหยิบกระดานไวท์บอร์ดออกมา จากนั้นเขาก็ส่งมันให้เฉินหยาง
เฉินหยางครุ่นคิดสักครู่แล้ววาดวงกลมบนกระดานไวท์บอร์ดโดยทันที เขาทำเครื่องหมายเป็น S และเขียนบรรทัดสำนวน
“สำหรับพื้นผิว S ขนาดกะทัดรัดและไร้ขอบเขต ความโค้ง K แบบเกาส์เซียนสามารถรวมเลอเบกเข้ากับพื้นผิวทั้งหมดได้”
เฉินหยางเขียนในขณะที่เขาพูดต่อไป
“เราทุกคนทราบดีว่าพื้นผิวสามารถมีการวัดได้มากกว่าหนึ่งค่า ดังนั้นผมจึงพยายามเปลี่ยนเมตริกการวัดของ S ความโค้งแบบเกาส์เซียน K ก็เปลี่ยนแปลงเช่นกัน แต่ค่าอินทิกรัลยังคงเหมือนเดิม เมตริกการวัดไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับคุณลักษณะออยเลอร์ X(S) ของพื้นผิว การใช้คุณสมบัตินี้ เราสามารถ—”
ลู่โจวมองดูการคำนวณบนไวท์บอร์ดและเลิกคิ้วขึ้นน่าอย่างสนใจ
“ทฤษฎีบทเกาส์ บอนเน็ต?”
เฉินหยางหยุดเขียนและพยักหน้า
“ถูกต้อง”
เขาเขียนทฤษฎีบทเกาส์ บอนเน็ตลงไปบนกระดาน
เมื่อลู่โจวเห็น เขาเริ่มสนใจมากขึ้น
อันที่จริงเขามีความคิดคร่าวๆ แล้วว่าเฉินหยางต้องการทำอะไร
ตามคุณสมบัติของท่อร่วมรีมันน์ M ที่มีมิติสูง ความโค้งแบบเกาส์เซียนสามารถทำให้เป็นลักษณะทั่วไปของส่วนโค้งส่วนได้ ในขณะที่ค่าของมันสามารถกำหนดโดยเทนเซอร์ของความโค้งรีมันน์ ฟังก์ชันอินทิกรัลคือสูตรพีชคณิตที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยเทนเซอร์ความโค้งและอินทิกรัลเกาส์ บอนเน็ต
สำหรับอินทิกรัลของมันเหนือแทนิโฟลด์ทั้งหมด ซึ่งถูกกำหนดโดยหมายเลขคุณลักษณะออยเลอร์ X(M)
ด้วยการใช้คุณสมบัติเหล่านี้ ทฤษฎีฮอดจ์สามารถขยายไปยังแมนิโฟลด์ที่ไม่กะทัดรัดได้
ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งใหม่เหล่านี้ถูกค้นพบโดยศาสตราจารย์เฉินเสิ่งเซินซึ่งเป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเกาส์ บอนเน็ตที่มีชื่อเสียง
ด้วยการรวมสิ่งนี้เข้ากับวิธีการโคโฮโมโลยี L2 ของเซอร์ อติยาห์ การคาดเดานี้อาจได้รับการแก้ไขได้จริง
แน่นอนว่าจะต้องมีการวิจัยเชิงลึกมากกว่านี้เพื่อหาข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์
ลู่โจวพยักหน้าอย่างพึงพอใจ
ไม่เลวเลยนี่
ไม่เลวเลย
มีฝูงชนจำนวนมากได้มายืนล้อมหลังเฉินหยางโดยไม่รู้ตัว
ผู้คนในออฟฟิศเริ่มจับตาดูอย่างใกล้ชิดนับตั้งแต่เขาเริ่มเขียนบนกระดานไวท์บอร์ด
หลี่โม่ดูสมการบนกระดานไวท์บอร์ดแล้วพูดว่า “นี่เหรอคือตำนาน…”
เหอชางเหวินมองดูเด็กคนนั้นและขมวดคิ้ว เขากล่าวว่า “ตำนานอะไร? พูดให้จบสิ”
หลี่โม่มองเขาอย่างแปลกใจ
“ข้อคาดการณ์ของฮอดจ์! ยังไงล่ะครับ”
เหอชางเหวิน “…”
มันชัดเจนขนาดนั้นเลย!
ฉันคิดว่ามันก็ค่อนข้างชัดเจนอยู่สินะ
เหอชางเหวินอดไม่ได้ที่จะโกหกตัวเอง
ใช่ เดี๋ยวก็จำได้
เฉินหยางหยุดเขียนบนไวท์บอร์ดและเขาก็เริ่มคิดอะไรบางอย่าง
ดูก็รู้ว่าเขามาได้ถึงครึ่งทางแล้ว เขายังคิดไม่ออกว่าจะไปต่อยังไง
อยู่ๆ ศาสตราจารย์เพเรลมานก็พูดขึ้น
“นี่เป็นเส้นทางที่น่าสนใจทีเดียว”
เฉินหยางมองไปที่เพเรลมาน และถามว่า “คุณมาที่นี่ตอนไหนครับ?”
“ถ้าทำได้เกือบครึ่งทางแล้ว… ผมมาหาศาสตราจารย์ลู่น่ะ” เพเรลมานหยุดชั่วครู่หนึ่งแล้วพูดว่า “… ผมขอใช้ปากกาได้ไหม?”
เฉินหยางยื่นให้โดยไม่ลังเล
เพเรลมานหยิบเครื่องหมายและครุ่นคิดอยู่ครู่หนึ่ง จากนั้นเขาก็เริ่มเขียนสำนวนลงไปสองสามบรรทัด
“เนื่องจากมีทฤษฎีเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตแบบรวมเป็นหนึ่งด้วย การพิสูจน์สูตร 3 จึงเป็นเรื่องเล็กน้อย
“ข้อเสนอแนะของผมสำหรับส่วนหลังของการพิสูจน์คือ เราสามารถทำแผนที่ท่อร่วมขนาดกะทัดรัด M กับแมนิโฟลด์ที่มีฝาปิดทั่วไป และรับแมนิโฟลด์ M ที่ไม่กะทัดรัดอย่างสมบูรณ์”
“ตามทฤษฎีบทของอติยาห์แล้ว หากเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าทั้งหมดยกเว้นกลุ่มความคล้ายคลึง L2 ระดับกลางเป็นศูนย์ภายใต้เงื่อนไขส่วนโค้งของภาค…”
เขาเขียนสมการที่เรียบง่ายแต่สวยงามอย่างรวดเร็ว
ลูกศิษย์ของเฉินหยางดูตัวเล็กลงทันทีเมื่อได้เห็นสิ่งนี้
เขามีเวลาในคิดในขณะที่เขาพูดด้วยความตื่นเต้น
“นี่คือวิธีที่เราสามารถพิสูจน์การคาดเดาของฮอดจ์ได้!”
แต่นี่แหละคือปัญหา
พวกเขาจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าภายใต้ความโค้งของส่วนโค้ง กลุ่มความคล้ายคลึงของ L2 นั้นเป็นศูนย์?
ทันใดนั้นการสนทนาหยุดลงกะทันหัน
หลังจากความตื่นเต้นครั้งแรก ทั้งสองคนก็ตกอยู่ในความเงียบทันที
แล้วพวกเขาก็หันไปมองที่ลู่โจว
ลู่โจวเห็นพวกเขามองมาที่เขา เขากะพริบตาและพูดด้วยรอยยิ้ม
“ผมคิดว่าความคิดของคุณค่อนข้างดีเลยนะ… แม้ว่าผมจะไม่ได้ศึกษาเรื่องนี้อย่างรอบคอบ แต่สัญชาตญาณของผมบอกผมว่ามีโอกาสแปดสิบเปอร์เซ็นต์ที่เส้นทางนี้จะได้ผล”
เขาหยุดครู่หนึ่งแล้วพูดต่อ “เส้นทางนี้น่าสนใจมากๆ ทำไมพวกคุณไม่ลองค้นคว้าด้วยกันล่ะ?”
ดูเหมือนพวกเขาจะเข้าใจสิ่งที่ลู่โจวพยายามจะบอก
เพเรลมานขมวดคิ้วและพูด
“คุณจะไม่ทำด้วยเหรอ? นี่สมการที่สนใจมากๆ เลยนะ”
อันที่จริงมันน่าสนใจมากกว่าอะไรเสียอีก
การคาดเดาของฮอดจ์เป็นการผสมผสานระหว่างสามส่วนหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ โทโพโลยี พีชคณิต และเรขาคณิต
ความยากของมันต้องเป็นสมการรางวัลมิลเลนเนียมอย่างไม่ต้องสงสัยเลย
ลู่โจวไม่ได้สนใจความประหลาดใจของเพเรลมานเลยแม้แต่น้อย
“ผมก็สนใจนะ แต่ผมมีงานต้องทำที่ ILHCRC ดังนั้นผมอาจไม่มีเวลาค้นคว้าคณิตศาสตร์แล้วในตอนนี้”
เพเรลมานดูผิดหวัง
“น่าเสียดายจัง”
“แม้ว่าผมจะพิสูจน์สมการนี้ด้วยตัวเองไม่ได้ แต่ผมรับรองกับศาสตราจารย์เฉินได้แน่นอน” ลู่โจวกล่าวขณะที่ตบไหล่เฉินหยาง เขากล่าวว่า “เขาเป็นนักวิชาการที่ยอดเยี่ยม ผมว่าคุณก็รู้อยู่แล้ว และถ้าคุณทั้งสองทำงานร่วมกัน ผมมั่นใจว่าคุณจะสามารถพิสูจน์สมการนี้ได้อย่างแน่นอน”
เพเรลมานไม่เห็นด้วยกับคำพูดของลู่โจวเรื่องความสามารถในการพิสูจน์สมการ เขามองไปที่เฉินหยางและไม่พูดอะไร เขาพยักหน้าเป็นสัญญาณให้เฉินหยางเป็นเพื่อนร่วมงานของเขา
สองคนนี้เป็นคนที่เงียบขรึม
ลู่โจวกระแอมและพูดกับเพเรลมาน
“พอพูดแบบนั้นแล้ว คุณมาอยู่ที่นี่ดีไหมล่ะ? ทฤษฎีเอกภาพของพีชคณิตและเรขาคณิตก็เสร็จสมบูรณ์แล้วด้วย”
“ไม่มีปัญหา” เพเรลมานส่ายหัวและพูดว่า “ผมโทรบอกแม่ของผมแล้ว เธอบอกว่าผมควรทำในสิ่งที่ฉันต้องการจะทำได้เลย เธอไม่สนใจมากเท่าไหร่ และผมมีธุระที่ยังไม่เสร็จที่นี่อีก… ผมต้องการพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของฮอดจ์ก่อนจะกลับให้ได้”
ลู่โจวรู้สึกประหลาดใจที่เพเรลมานต้องการอยู่ต่อ เมื่อเขาไม่มีความสุขได้มากกว่านี้อีกแล้ว เขาจึงพูดด้วยรอยยิ้ม
“งั้นคุณก็อยู่ในอพาร์ตเมนต์ต่อได้เลย ผมจะไปขอต่อเวลาให้”
เพเรลมานพยักหน้าและพูด
“ขอบคุณ”
……………………………
