ชื่อเต็มของวิธีทรงกลมคือ’วิธีทรงกลมฮาร์ดี้-ลิตเติ้ลวู้ด’ มันไม่ได้เป็นแค่เครื่องมือสำคัญสำหรับข้อคาดการณ์ของก็อลท์บัคเท่านั้น แต่มันยังเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวนอีกด้วย
ตอนแรกเครื่องมือนี้ไม่ได้สร้างเพื่อข้อคาดการณ์ของก็อลท์บัค ตอนนี้มันได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในโลกคณิตวิเคราะห์ว่าแนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาเป็นครั้งแรกในงานวิจัย ‘symptomatic analysis of integer splitting’ เมื่อฮาร์ดี้และลิตเติ้ลวู้ดร่วมมือกันในการศึกษาปัญหาฮวาหลิน วิธีนี้ก็เสร็จสมบูรณ์
ในฐานะที่เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับศึกษาข้อคาดการณ์ของก็อลท์บัค วิธีนี้จึงถูกขยายโดยนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นๆ
ยกตัวอย่าง เฮลฟ์ก็อตที่ยืนอยู่บนเวทีเป็นหนึ่งในผู้มีผลงานในวิธีทรงกลม
“…ความหมายของข้อคาดการณ์ของก็อลท์บัคคือทุกจำนวนคู่ที่มากกว่า 2 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้ เราเรียกสิ่งนี้ได้ว่า ข้อคาดเดา A”
“…เนื่องจากเลขคี่ลบด้วยจำนวนเฉพาะคี่จะเป็นเลขคู่ ข้อคาดเดา A คิดว่าทุกจำนวนคู่มีค่าเท่ากับผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้ ดังนั้น ข้อคาดเดา B สามารถใช้คาดคะเนการอนุมาน B ได้ ทุกเลขคี่ที่มากกว่า 9จะสามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะคี่สามจำนวนได้”
เฮลฟ์ก็อตหยุดชั่วครู่ก่อนจะกล่าวต่อ “‘วิธีทรงกลม’ที่ผมพูดถึงคือข้อคาดการณ์เวอร์ชันอ่อนกว่าที่พิสูจน์ส่วนหนึ่งของข้อคาดการณ์ของก็อลท์บัค ข้อคาดเดา B”
ข้อคาดเดา A เกิดขึ้น ข้อคาดเดา B ก็จะเกิดขึ้นเช่นกัน
อย่างไรก็ตามวิธีนี้ไม่ได้ผลกับอีกข้อคาดเดา
ส่วนเหตุผล มันเป็นเพราะสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำถามที่น่าสนใจมากในคณิตศาสตร์เชิงตรรกะ มันยากที่จะอธิบายด้วยคณิตศาสตร์ง่ายๆ แต่อธิบายให้เข้าใจก็คือ เซตของ’ผลบวกและจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่า 9′ ไม่เท่ากับเซตของ’จำนวนคู่ใดๆ ‘ องค์ประกอบทั้งหมดเป็นอนันต์และไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างละเอียดถี่ถ้วน
จากมุมมองเชิงนามธรรม ‘เซตคู่’ของวิธีทรงกลมเป็นรูปแบบ’1+1’ของวิธีตะแกรง มีส่วนเล็กๆขาดหายไปทั้งคู่
อย่างไรก็ตามส่วนๆ เล็กๆ นี้เป็นส่วนสำคัญ
หลังจากกล่าวเปิดงานสั้นๆ เฮลฟ์ก็อตก็เริ่มเขียนการคำนวณบนไวท์บอร์ด
[…เมื่อ 2||N, มี r3(N)=1/2n(N2/N3)∏(1-1/(p-1)2)∏(1+1/(p-1)2), (1+O(1))]
เมื่อเห็นสูตรการคำนวณนี้ แววตาของลู่โจวก็เปล่งประกาย
นิพจน์นี้ไม่ได้เป็นการเขียนลวกๆ มันเป็นข้อโต้แย้งสองหลักของฮาร์ดี้และลิตเติ้ลวู้ด มันเป็นหนึ่งในนิพจน์ที่ถูกนำเสนอในวิทยานิพนธ์ปี 1922!
ขณะศึกษาข้อคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด ลู่โจวก็ได้อ่านวิทยานิพนธ์นี้ เขายังเอาบางส่วนไปอ้างอิงในวิทยานิพนธ์ของเขาด้วยซ้ำ
ด้วยเหตุนี้ ความประทับใจของเขาที่มีต่อวิทยานิพนธ์นี้จึงล้ำลึกยิ่ง
ดูเหมือนการบรรยายนี้จะน่าสนใจเล็กน้อย
ชายชราที่อยู่ตรงหน้าไวท์บอร์ดไม่ได้พูดอะไร กลับกันเขาเริ่มเขียนต่อแทน
ห้องประชุมเงียบสงัด
มันไม่ใช่แค่ลู่โจวเท่านั้นที่กำลังฟังอย่างตั้งใจ บุคคลสำคัญของโลกคณิตศาสตร์ทุกคนต่างก็ฟังอย่างตั้งใจเช่นกัน
โลกคณิตศาสตร์มีความเฉพาะทางสูงยิ่ง ไม่มีใครเชี่ยวชาญทุกด้าน ดังนั้นวิทยานิพนธ์ที่นำมาบรรยายจะถูกเผยแพร่ให้ทุกคนล่วงหน้าเพื่อนำมาศึกษา
ถ้าหากการบรรยายไม่ได้ตอบคำถามในใจของใคร คนๆนั้นก็จะสามารถนำมาถามในช่วงถามตอบ นี่แหละคือการเผยแพร่ผลงานทางวิชาการ มันไม่แค่ฟังดูและฟังเท่านั้น เราต้องคิดและถามคำถามอย่างกระตือรือร้นรวมถึงการมีส่วนร่วมในการอภิปราย
หลังผ่านไปสี่สิบนาที เฮลฟ์ก็อตก็หยุดเขียนแล้วหันหลังมา
“ขั้นตอนการพิสูจน์ขั้นพื้นฐานเป็นแบบนี้ ถ้าหากท่านใดมีคำถาม เชิญถามมาได้เลย”
ลู่โจวยกมือขึ้น
เฮลฟ์ก็อตมองลู่โจวแล้วพยักหน้า
ลู่โจวลุกขึ้นยืนแล้วพูด “ผมมีข้อสงสัยเกี่ยวกับสูตรตรงบรรทัดที่ 34 การดำเนินการของ =∑a(n)z^n+δ(n) คุณจะได้รับทุกจำนวนเต็มจาก n>0 ผมเดาว่าคุณใช้ทฤษฎีโคชี-กูซาหรือมันเป็นทฤษฎีส่วนตกค้าง แต่คุณตัดสินว่าได้ยังไงว่ามันฟังก์ชัน f(s) เป็นฟังก์ชันบริสุทธิ์?”
มีเสียงสนทนาดังขึ้นมาอย่างเงียบๆ
เห็นได้ชัดว่าคำถามของลู่โจวน่าสนใจ
“คำถามที่ดี” เฮลฟ์ก็อตกล่าวขณะมองลู่โจวไปพลาง จากนั้นเขาก็เขียนสูตรการคำนวณบนไวท์บอร์ดก่อนจะเอ่ยถาม “ตอนนี้คุณเข้าใจยัง?”
ลู่โจวมองสูตรคำนวณแล้วพยักหน้า
“เข้าใจแล้ว ขอบคุณครับ”
ลู่โจวนั่งลงแล้วคัดลอกสูตรบนสมุด
เนื่องจากงานวิจัยหลักของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีตะแกรง วิธีของเฮลฟ์ก็อตก็น่าสนใจเหมือนกัน ด้วยการแลกเปลี่ยนทางวิชาการ ลู่โจวจะสามารถทำให้ทฤษฎีของตนเองสมบูรณ์และสามารถใช้ความเห็นที่แตกต่างมาเป็นแรงบันดาลใจ
ขณะที่ลู่โจวกำลังจด คนที่อยู่ข้างเขาก็สะกิดแขน
“ขอโทษค่ะ ฉันขอถามอะไรหน่อยได้ไหม?”
คนที่ถามคำถามเป็นสาวผมบลอนด์ผิวซีดๆ
ผู้หญิงคนนี้ดูเด็ก เธอต่ำกว่าลู่โจวเล็กน้อย เธออาจเป็นนักศึกษาปริญญาตรีจากเบิร์กลีย์…ถ้าเธอบอกว่าเป็นนักศึกษาปริญญาโท ลู่โจวไม่เชื่อแน่นอน
แม้ว่าการออกเสียงภาษาอังกฤษของเธอจะค่อนข้างสะดุด แต่น้ำเสียงของเธอก็น่าฟังมาก
ไม่ว่าเสียงของเธอจะน่าฟังหรือไม่ ลู่โจวไม่มีทางปฏิเสธคำถามคณิตศาสตร์ เขากล่าว “เชิญเลยครับ”
หญิงสาวกะพริบตาปริบๆแล้วชี้ไปตรงไวท์บอร์ด “ขอโทษค่ะ ตรงนั้น…คุณได้อะไรจากตรงนั้นหรือ?”
เธอมองดูสูตรที่ตนเองไม่เข้าใจเลยสักนิด
“คุณพูดถึงนิพจน์?” ลู่โจวถาม จากนั้นเขาก็อธิบายอย่างอดทน “เนื่องจาก I(n) = ∫{f(s)/s^(n+ 1)}ds=2πian เป็นปริพันธ์วงปิด คุณสามารถใช้ทฤษฎีส่วนตกค้างทำให้มันกลับเป็นรูปแบบเดิมโดยตรง คำอธิบายของศาสตราจารย์เฮลฟ์ก็อตอาจโดดๆ เล็กน้อย ดังนั้นมันจึงเข้าใจได้ยาก”
หญิงสาวเริ่มจดบันทึก
จากเทคนิคจดทุกอย่างโดยไม่ข้าม ลู่โจวจึงมั่นใจว่าเด็กคนนี้อยู่ปริญญาตรี
อย่างไรก็ตามเด็กปริญญาตรีเข้าใจบรรยายนี้จริงหรือ?
ลู่โจวถาม “มีคำถามอื่นอีกไหม?”
“ขอบคุณค่ะ ไม่…ขอโทษค่ะ ฉันขออีเมลล์หน่อยได้ไหม? ฉันยังมีคำถามอยากถามคุณอีก” หญิงสาวกล่าว เธอดูกระวนกระวายเล็กน้อย แถมดูเหมือนหน้าเธอยังเริ่มแดง
เห็นได้ชัดว่าเธอไม่เก่งเข้าสังคม
ลู่โจวก็ไม่เก่งเข้าสังคมเหมือนกัน ดังนั้นเขาจึงไม่ได้ใส่ใจ “ได้สิ แล้วก็ อย่าพูด’ขอโทษ’ตลอด ผมลู่โจว คุณล่ะ?”
“ฉันรู้ว่าคุณคือลู่โจว ฉันเห็นคุณตอนพิธีเปิด” หญิงสาวกล่าว “ฉันชื่อเวร่า ฉันเรียนอยู่เบิร์กลีย์…ฉันสนใจคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มาก โดยเฉพาะทฤษฎีจำนวน”
เวร่า?
ฟังดูเหมือนคนรัสเซีย?
ลู่โจวมองหน้าอกของเธอโดยไม่รู้ตัว แม้ว่ามันจะไม่ถึงขั้นไม้กระดาน แต่มันก็เล็กมาก
เอิ่ม…
ไม่มีทางน่า?
“แค่อยากรู้เฉยๆนะ คุณอายุเท่าไหร่?”
“สิบเจ็ด…”
ลู่โจวมองเธอแล้วถาม “สิบเจ็ด ปีเข้าเบิร์กลีย์ได้ด้วย?”
ตอนอายุสิบเจ็ด เขายังไม่จบมัธยมปลายด้วยซ้ำ
“ฉันได้เหรียญทองของ IMO…” เวร่ากล่าว เธอยิ้ม “แน่นอน เมื่อเทียบกับการแก้สองข้อคาดการณ์ของคุณ มันไม่มีอะไรเลย…”
ลู่โจวกล่าว “…ไม่ การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกก็น่าสนใจ มั่นใจตัวเองหน่อย มันน่าตกใจ สรุปคุณได้เหรียญตอนอายุสิบห้า? แล้วคุณเข้าเรียนมัธยมปลายตอนไหน?”
คำถามสุดท้ายถูกทิ้งไว้โดยที่เวร่าไม่ได้ตอบ เพราะเฮลฟ์ก็อตประกาศจบการบรรยายแล้ว
“เรายังมีหลายวิธีที่จะพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของก็อลท์บัค”
“ขอบคุณที่มารับฟังครับ!”
เฮลฟ์ก็อตพยักหน้าแล้วเดินลงจากเวทีไปพร้อมกับเสียงปรบมือ
ลู่โจวไม่เคยเข้าร่วมการแข่งขัน IMO ดังนั้นเขาจึงค่อนข้างสนใจ เขาอยากคุยกับเด็กสาวอีกนิด แต่มันก็เริ่มสายแล้ว ดังนั้นเขาจึงเก็บข้าวของแล้วเดินออกจากห้องประชุม
…………………………………
