การสอนนักศึกษาระดับปริญญาตรีนั้นเป็นเหมือนกับการทบทวนความรู้ของลู่โจว
โดยปกติเขาจะไม่แตะต้องวัสดุพื้นฐานเหล่านี้ นี่เป็นครั้งเดียวที่เขาละทิ้งการค้นคว้าและมุ่งเน้นไปที่แนวคิดที่เรียบง่ายมากๆ
“… เราทุกคนรู้ว่าสมมติฐานรีมันน์เป็นหนึ่งในการคาดเดาที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์ มันเป็นการคาดเดาเกี่ยวกับจุดศูนย์ของฟังก์ชันซีตา แต่คุณรู้หรือไม่ว่าสมมติฐานของรีมันน์นั้นเกิดขึ้นได้อย่างไร?
“อันที่จริง ก่อนสมมติฐานของรีมันน์มีอีกเรื่องหนึ่งที่สร้างปัญหาให้กับเหล่านักคณิตศาสตร์มานานหลายศตวรรษ นั่นคือการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ”
ลู่โจวเขียนสมการสองสามข้อไว้บนกระดาน จากนั้นเขาก็มองย้อนกลับไปที่นักเรียนและพูดต่อ “การใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายก็รู้ว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะได้ การแทนค่านี้มีลักษณะเฉพาะ ดังนั้นจำนวนเฉพาะจึงเป็นองค์ประกอบพื้นฐานที่ประกอบเป็นจำนวนเต็มบวก
“อย่างไรก็ตามการแจกแจงจำนวนเฉพาะนั้นไม่ง่ายที่จะเข้าใจ มันเป็นสิ่งพื้นฐานที่สุดชิ้นหนึ่งของโลกทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์ นั่นก็คือการศึกษาการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ”
นักเรียนในห้องมีสีหน้าที่จดจ่อกับการบรรยายของเขา ทำให้เขารู้ว่าการบรรยายของเขากำลังเป็นไปได้ด้วยดี
สมมติฐานของรีมันน์เป็นสมการที่ซับซ้อนมาก การเข้าใจมันเป็นเรื่องที่ยากมาก และการพิสูจน์สมการนั้นแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย…
ลู่โจวนิ่งไปชั่วครู่ จากนั้นเขาก็พูดต่อว่า “ในทฤษฎีตัวเลขวิเคราะห์ นักคณิตศาสตร์มักจะศึกษาฟังก์ชัน π(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่แสดงผลจำนวนเฉพาะที่ต่ำกว่า x การวิจัยคุณลักษณะของ π(x) เป็นหนึ่งในงานหลักของทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์
“ทั้งเกาส์และเลอเจนเดรได้ทำการคำนวณเชิงตัวเลขมากมายใน π(x) พวกเขาเดาว่าเมื่อ x มีแนวโน้มเป็นอนันต์ π(x)~x/ln(x) และการคาดเดาของพวกเขาได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมา ซึ่งเป็นสิ่งที่เราเข้าใจว่าเป็นทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ
“ยูคลิดพิสูจน์ให้เห็นว่ามีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน เช่น ออยเลอร์ใช้ผลิตภัณฑ์ออยเลอร์ ผู้บุกเบิกที่ยิ่งใหญ่เหล่านี้ได้มอบเครื่องมือในการวิเคราะห์และศึกษาจำนวนเฉพาะให้แก่เรา และไม่มีใครสามารถหาวิธีที่เหมาะสมในการพิสูจน์การคาดเดาของเกาส์ได้ นั่นก็จนกระทั่งปี 1950 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันตีพิมพ์บทความเรื่อง ‘เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่แน่นอนน้อยกว่าขีดจำกัดที่กำหนด’ งานวิจัยของเขาเปิดเส้นทางใหม่สำหรับ π(x)
“คนส่วนใหญ่รู้ว่าผู้ชายชาวเยอรมันคนนี้เป็นใคร ใช่แล้ว ฉันกำลังพูดถึงรีมันน์ เขาได้แนะนำฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในวิทยานิพนธ์นี้”
ลู่โจวหันกลับมาและเขียนสมการลงบนกระดานดำ
[ζ (s) = Σ1 / n ^ s]
ลู่โจวมองดูห้องเรียนที่เงียบงันและพูดขึ้น
“นี่… มันดูไม่ยากเลย ใช่มั้ยล่ะ?”
ทุกคน “…”
เวรเอ๊ย!
มันจะไม่ยากได้ยังไง?
“รีมันน์ตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมสำหรับฟังก์ชันที่เขาเสนอ นั่นคือจุดศูนย์ทั้งหมดของ ζ อยู่บนเส้นตรงวิกฤต วิสัยทัศน์ของเขาค่อนข้างเป็นเหมือนการปฏิวัติ การคำนวณกำลังที่ยากทั้งหมดของเราแสดงให้เห็นว่าจุดศูนย์อยู่บนเส้นตรงวิกฤต น่าเสียดายที่แม้เราจะรู้ว่าสมมติฐานของเขาน่าจะถูกต้อง แต่เราก็ไม่มีทางพิสูจน์มันได้เลย”
“เรามักจะใช้สมมติฐานของรีมันน์เพื่อพิสูจน์การคาดเดาอื่นๆ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์ไม่ได้รับการพิสูจน์ เราก็จะไม่สามารถพูดได้ว่าการคาดเดาอื่นๆ นั้นถูกต้อง”
“และในทางกลับกัน หากเราพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ การคาดเดาทางคณิตศาสตร์นับพันที่ถือว่าสมมติฐานรีมันน์ก็จะกลายเป็นทฤษฎีบททันที!”
“ถ้าใครสามารถพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ได้ พวกเขาก็จะกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของศตวรรษนี้อย่างไม่ต้องสงสัย… ผมมั่นใจว่าศตวรรษนี้เพิ่งจะเริ่มต้นขึ้น”
“ศาสตราจารย์ครับ” นักเรียนคนหนึ่งพูดพร้อมกับยกมือขึ้น หลังจากได้รับพยักหน้าจากลู่โจว เขาก็ถามอย่างตื่นเต้นว่า “ถ้ามีคนพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ได้ พวกเขาจะเทียบเท่ากับคุณได้ไหม?”
“มันจะไม่ใช่การเปรียบเทียบที่ดีนักหรอก ท้ายที่สุดแล้วงานของผมมีมากกว่าแค่สาขาคณิตศาสตร์” ลู่โจวยิ้มให้นักเรียน “แต่ถ้าใครพิสูจน์การคาดเดาได้ งานของพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์จะต้องแซงหน้าผมได้อย่างไม่ต้องสงสัย”
หลังจากนั้นลู่โจวได้อธิบายความคืบหน้าของการวิจัยในปัจจุบันเกี่ยวกับสมมติฐานของรีมันน์ เพราะเขาเปลี่ยนวิธีการบรรยายทำให้นักเรียนจึงตั้งใจฟังมากขึ้น
ลู่โจวพอใจกับความตั้งใจของนักเรียน
และแล้วเวลาก็ผ่านไปอย่างรวดเร็ว
ลู่โจวเหลือบมองนาฬิกาที่ผนังและเห็นว่าใกล้จะถึงเลิกเรียนแล้ว เขาโยนชอล์กลงบนโต๊ะแล้วพูด
“เราจะพอกันแค่นี้… เลิกคลาสได้”
เสียงสับของกระดาษหนังสือเรียนดังลั่นไปทั่วห้องเรียน ลู่โจวพยักหน้าไปทางนักเรียนและคว้าแผนการสอนของเขา จากนั้นก็เดินออกจากห้องเรียนไป
ลู่โจวกำลังจะกลับไปที่ออฟฟิศตัวเอง เขาต้องการที่จะจดแรงบันดาลใจจากการที่เขาได้รับจากการบรรยาย แต่ทันใดนั้นคณบดีฉินก็ได้ปรากฏตัวขึ้น
“เป็นการบรรยายที่ยอดเยี่ยมมาก!” คณบดีฉินกล่าวด้วยรอยยิ้มบนใบหน้าของเขา “มันช่วยผมได้มากเลย!”
ลู่โจวยิ้ม
“คุณใจดีเกินไปครับ ผมไม่ได้สอนนักเรียนระดับปริญญาตรีมานานสักพักแล้ว”
คณบดีฉินกล่าวว่า “เราทุกคนมีลำดับความสำคัญของตัวเอง และงานวิจัยของคุณก็สำคัญกว่าการบรรยายอย่างเห็นได้ชัด ว่าแต่ว่าเมื่อกี้คุณยุ่งหรือเปล่า”
ลู่โจว “ไม่ครับ ทำไมเหรอ?”
“ผมมีเรื่องจะถามคุณสักหน่อย” เขาไอเล็กน้อยและพูดว่า “คุณเคยได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์โอลิมปิกสากลไหม?”
ลู่โจว “ครับ ทำไมเหรอครับ?”
รู้ได้ทันทีเลยว่าเขาเคยได้ยินเกี่ยวกับ IMO แต่น่าเสียดายที่เขาไม่มีโอกาสเข้าร่วม
ผู้ชนะเลิศเหรียญทอง IMO คือผู้ที่เรียกได้ว่าที่สุดของที่สุด
ตัวอย่างเช่น ชูลทซ์ ซึ่งฟาลติ้งส์กล่าวว่าเขาเป็นหนึ่งในสามคนที่สามารถเอาชนะฟาลติ้งส์ได้คือผู้ชนะเลิศเหรียญทอง IMO
เหตุใดชูลทซ์จึงสมัครเข้าร่วมการแข่งขัน IMO อีกสองรายการหลังจากคว้าเหรียญทอง… นั่นเป็นเพราะชูลทซ์คิดว่ามันเป็นเรื่องสนุก…
คณบดีฉินยิ้มและพูดว่า “ก็เดือนที่แล้วมีการแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายใช่ไหม? นักเรียนชั้นนำในทุกรัฐได้รับการคัดเลือก และค่ายฝึกฤดูหนาวกำลังจะเริ่มในเดือนมกราคมปีหน้า ตอนนี้ก็เดือนพฤศจิกายนแล้ว มันถึงเวลาที่จะคัดคนออกไปแล้ว”
ลู่โจวกล่าวว่า “คุณไม่ได้จะขอให้ผมออกข้อสอบใช่ไหม?”
“นี่ไม่ใช่การตัดสินใจของผม สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศจีนต้องการให้คุณคิดสมการสุดท้าย”
ลู่โจว “นั่นเหมาะสมใช่ไหมครับ?”
คณบดีฉินยิ้มและกล่าวว่า “เหมาะสมแน่นอนสิ คำถามสุดท้ายเมื่อปีที่แล้วได้รับการคัดเลือกจากนักวิชาการด้วยเช่นกัน คุณไม่เพียงแต่เป็นนักวิชาการเท่านั้นแต่ยังเป็นผู้ชนะเลิศการแข่งขันภาคสนามอีกด้วย”
ลู่โจว “ก็ได้ครับ แต่แค่คำถามเดียวเท่านั้นนะครับ”
“โอ้ ขอบคุณมาก” จู่ๆ คณบดีฉินก็จำบางอย่างได้และพูดว่า “ใช่ๆ อย่าทำให้มันยากเกินไปนะ มันไม่มีประโยชน์อะไรถ้าหากไม่มีใครแก้มันได้”
“ไม่ต้องห่วง ผมจะไม่ทำให้มันยากเกินไปแน่นอน” ลู่โจวดึงกระดาษร่างออกมาจากแผนการสอนและเริ่มเขียน
คณบดีฉินมองมาที่เขาอย่างงุนงง
“ไม่ใช่ว่าคุณกำลังเขียนคำถามตอนนี้ใช่ไหม?”
ลู่โจว “แน่นอน ผมกำลังเขียนอยู่ ทำไมล่ะครับ?”
“นี่เป็นการแข่งขันระดับชาติดังนั้นคุณควรคิดให้รอบคอบก่อนนะ”
“ผมคิดรอบคอบแล้ว” ลู่โจวเขียนคำถามและส่งให้คณบดีฉิน “มอบสิ่งนี้ให้กับสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศจีน มันดีแล้ว”
คณบดีจ้องไปที่กระดาษร่าง ลู่โจวเริ่มเดินจากไป ทิ้งให้คณบดีฉินพึมพำกับตัวเอง “ฟังก์ชันซีตารีมันน์?”
คณบดีฉินลูบคางและคิดบางอย่าง
“นักเรียนมัธยมปลายจะสามารถแก้สมการนี้ได้จริงเหรอ?”
ไม่นานเขาก็นึกอะไรบางอย่างขึ้นได้ และดวงตาของเขาก็สว่างขึ้น
“เดี๋ยวก่อนนะ… คำถามนี้มันช่างน่าสนใจ…”
คณบดีมองไปรอบๆ ตัวเขาอย่างระมัดระวังและยัดกระดาษลงในกระเป๋าตัวเอง จากนั้นเขาก็รีบเดินกลับไปที่ออฟฟิศของเขา
……………………………
